La tesi tratta l’analisi e l’approssimazione di una superficie triangolata M e di funzioni scalari f:M→R, definite su M. Tali finalità sono state ottenute mediante lo studio di proprietà locali e globali di (M, f) e legate all’informazione che si vuole estrarre, preservare e/o trasmettere. A tal fine, la tesi ha trattato l’approssimazione di (M, f) con o senza vincoli di approssimazione ai minimi quadrati e di interpolazione. L’idea alla base del metodo proposto è quella di combinare le tecniche di approssimazione ai minimi quadrati e di regolarizzazione con le proprietà di regolarità e spettrali della matrice Laplaciana associata ad M. Adattando i metodi sopra citati al caso di funzioni scalari definite su superfici triangolate, abbiamo introdotto un’approssimazione non-vincolata di f. Successivamente, è stata discussa una tecnica di approssimazione di f con vincoli ai minimi quadrati. Tale approssimazione è stata calcolata attraverso la minimizzazione di un opportuno funzionale definito come media tra accuratezza e regolarità dell’approssimazione. Questa scelta ha permesso di inserire vincoli di interpolazione (ancore) nel processo di approssimazione di f e di preservare caratteristiche di f considerate importanti per la sua descrizione. L’idea alla base del metodo è di identificare un numero di ancore strettamente necessario alla descrizione del dato e generalmente inferiore al numero dei punti in input. L’identificazione automatica di tali ancore è guidata dalle proprietà spettrali della matrice Laplaciana L associata a M, relativa alle caratteristiche geometriche della superficie, e legata alle proprietà differenziali (punti critici) delle sue autofunzioni ottenute calcolando lo spettro di L. In entrambi i casi, lo schema di approssimazione con vincoli ai minimi quadrati o di interpolazione comporta la risoluzione di un sistema lineare con matrice dei coefficienti sparsa e definita positiva.